欧拉在数学上的贡献
发布时间：2010-09-15 09:14:34
发布人：
pnacy
欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继I·牛顿(Newton)之后最重要的数学家之一。在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起。他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法。欧拉的这种面向实际的研究风格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因。其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好。作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去．他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想。因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述。他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子。欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点。现代版的《欧拉全集》(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911—) 72卷中有29卷属于纯粹数学。
欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一。但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学。这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。
欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比。他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法。只是在19世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足。他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性。欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者。
这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解。譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”
欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师。他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现。但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的。他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的。
欧拉采用了许多简明、精炼的数学符号．譬如，用e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∫n表示数n的约数之和，△y，△2y…表示
号，等等。这些符号从18世纪一直沿用至今。
在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪。约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人。”P·S·拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期。19世纪最著名的数学家C·F·高斯(Gauss)、A·L·柯西(Cauchy)、M·И·罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П·Л·切比雪夫(Чебышев)、C·F·B·黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作。高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它。”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路。
欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一。但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学。这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。
欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比。他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法。只是在19世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足。他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性。欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者。
这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解。譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”
欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师。他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现。但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的。他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的。
欧拉采用了许多简明、精炼的数学符号．譬如，用e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∫n表示数n的约数之和，△y，△2y…表示
号，等等。这些符号从18世纪一直沿用至今。在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪。约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人。”P·S·拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期。19世纪最著名的数学家C·F·高斯(Gauss)、A·L·柯西(Cauchy)、M·И·罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П·Л·切比雪夫(Чебышев)、C·F·B·黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作。高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它。”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路。
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