50年代后期，徐利治开始从事逼近论研究
50年代后期，徐利治开始从事逼近论研究，在数值逼近与函数逼近方面发表了一系列文章。作为"数值方法"的补充，他于1958-1961年曾创用高维数值积分的"三角逼近法"，其特点是关于"极值系数"的选取较为简易，而对一类函数却能达到较高精度，因而受到国外学者的注意，成为数值计算工作者的有用工具。美国数值分析专家I.图德(Tood)等人在总结性报告中均提到他用线积分逼近多重积分的工作。
19世纪后期，俄国数学家П.Л.切比雪夫(Чебышев)建立了函数逼近理论，后由其同胞C.H.伯恩斯坦(Бернштейн)、P.A.霍洛多夫斯基(Xололовский)扩展到无界函数的逼近中。受此启发，徐利治于1961年在《利用正线性算子或多项式对无界连续函数的逼近》(发表于波兰《数学研究》)一文中对无界函数逼近研究作出新的推进，提出"扩展乘数法"，为从根本上解决无界域上的无界函数的多项式算子逼近问题开辟了道路，被国外学者称为"徐氏技巧"。在此基础上他又与王仁宏合作，系统发展了这一方法，达到较为完善的程度，得到国内外同行的公认。他与合作者在数值积分(包括函数逼近论)和数值逼近方面的成果于1982年获中国国家自然科学三等奖。许多数学家引用扩展乘数法解决了逼近论中一系列具体问题，直至最近国外还有人以改进他在该方法中提出的一条基本定理而作为博士论文起点，足见其影响之深远。
1960年徐利治最先对线性算子半群理论中十分基本的"希尔(Hille)第一指数公式"作出定量估计。
原公式仅对收敛性质进行了判断，而徐利治给出的逼近估计定理可从收敛程度上进行刻划，对于逼近论有较好的应用价值，启发引导了Z.迪茨恩(Ditzian)、P.L.布策(Butzer)、D.法埃弗(Pfeifer)等人在60-80年代的许多工作。此外徐利治给出的广义兰道(Landau)多项式算子被国外学者称为"兰道-徐氏多项式"，德国数学家E.赫劳卡(Hlawka)将这类多项式用于随机逼近，效能颇佳。
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